可展开空间结构对复合材料日益增长的接受度表明，这些材料相比现有航天合格材料提供了显著的性能改进。然而，这种日益增长的接受度揭示了对模型进一步发展的迫切需求，以准确预测材料行为的关键、非经典方面。在高温下主导复合材料弯曲响应的一个关键变形机制是发生在软化树脂内的纤维微屈曲。本文将专注于旨在预测复合材料在弯曲载荷下的几何非线性响应（包括纤维微屈曲）的分析工作。该分析基于对具有初始纤维波曲的层板在弯曲中的有限应变（拉格朗日）微力学分析。提供了分析预测与结构应用实验结果的比较。

　　一种新材料要在航天器应用中获得认可，其必须具备经过充分表征且可重复的性能，且该性能需超越现有的航天合格材料。复合材料在可展开空间结构中日益增长的接受度表明，该材料相比现有航天合格材料可能提供显著的性能改进。然而，这种日益增长的接受度揭示了对模型进一步发展的迫切需求，以准确预测材料行为的关键及非经典方面。在高温下，软化树脂内的纤维微屈曲主导着复合材料的弯曲响应，并涉及多种非线性微机械效应。尽管通过开发实用的经验设计方程在预测复合材料行为方面取得了进展，但对微屈曲现象的彻底分析处理尚未实现。

　　多连续介质技术是模拟复合材料结构变形响应的一种独特替代方法。驱动多连续介质技术的基本原理是将复合材料的基本组分（纤维和基体）作为独立但相互关联的连续介质纳入结构有限元分析中。传统分析方法将复合材料表示为单一的等效均匀连续介质，因此难以处理与异质性相关的问题。当处理处于软树脂状态（高温）的复合材料时，传统分析方法的不足进一步凸显，因为基体的刚度降低了两个数量级，从而加剧了纤维与基体之间的异质性。因此，传统方法不足以表征复合材料的非线性微机械行为。

　　本研究工作的目标是为复合材料分析技术的进一步发展奠定基础。研究人员选择从一个被确定具有高成功率且能推动复合材料分析技术当前水平的问题入手。本文开发了一种建模技术，用于预测复合材料层板在高温下承受纯弯曲时的响应。这是一个独特的问题，因为在高温下，层板的受压侧会在纤维中形成周期性波曲，从而显著改变材料特性。研究人员认为，如果能够准确模拟这一现象，那么将分析技术扩展到包括失效、温度依赖性和形状记忆效应就在触手可及的范围内。相信多连续介质技术是实现这些目标的途径。

　　复合材料是被称为形状记忆材料的广泛“智能”材料类别中的新成员。在冷却状态下，复合材料类似于传统的纤维增强复合材料。当材料经历高于其激活温度的热循环时，其独特性显现。特殊的热固性形状记忆树脂使得结构能够进行包装和展开，而无需像机械包装结构那样存在储能危险。复合材料结构可能满足未来对轻质、高可靠性和成本效益的太阳能阵列、辐射器及其他设备展开机构的需求。

　　复合材料结构的包装/展开周期如下：将结构加热至树脂的激活温度（约115°C）以上并进行包装；通过冷却将其“冻结”在包装构型中。要展开结构，只需重新加热并允许其恢复到原始构型。

　　复合材料的独特之处在于，其树脂系统能够实现比传统复合材料高得多的包装应变，而不会损坏纤维或树脂。例如，碳纤维增强复合材料层板可以在应变水平超过5%（在高温下）的情况下弯曲，而不会损坏任一组分，尽管碳纤维的极限应变在1%至1.5%之间。纤维直径相对于波长较小，使得这些高应变成为可能，类似于钓鱼竿中的情况。即使纤维中的局部应变很小，位移梯度也相当大。如此高的弯曲应变之所以能够实现，是因为加热后的基体大幅软化，模量降低了两个数量级，这使得纤维波曲在受压试样中得以发生。随着压应变的增加，纤维中波的振幅也随之增加。

　　研究表明，一旦纤维微屈曲形成，复合材料层板可以在不损坏的情况下弯曲到非常高的曲率，并且在冷却后，基体的刚度恢复，永久保持或“冻结”微屈曲形状。随后将复合材料层板加热至其激活温度以上，将导致屈曲逐渐变直，层板逐渐自展开到其预包装的几何形状。

　　先前的工作假设纤维微屈曲是由于柱屈曲型响应形成的，但近期的工作和实验测试已确定，在制成的层板中存在少量低振幅波曲，并且这种波曲在压缩载荷下被放大。相反，在拉伸状态下，波曲会消失。

　　这项工作的目标是预测复合材料层板或结构在包装到其使用寿命范围内的应变时的响应。对于层板中表现出波曲的部分，其非线性材料特性将通过使用波浪形纤维的有限元微力学来确定。波浪形纤维之间的局部树脂区域承受非常高的应变，因此整个分析将使用有限应变公式进行。

　　多连续介质技术是一种复合材料结构分析技术，可在常规有限元分析过程中，将平均层板（匀质化）应力/应变信息分解为平均组分（纤维和基体）应力/应变信息。多连续介质技术分解为结构分析中的组分行为开启了一扇新的窗口，这是传统有限元分析所不具备的。由多连续介质技术分解产生的组分应力和应变场，与通过代表性体积单元内局部应力 应变场进行体积平均所获得的场相同。

　　可以为多种复合材料微观结构（如单向、颗粒和编织复合材料）开发代表性体积单元。我们此处的兴趣是定义一个能捕捉纤维微屈曲效应的代表性体积单元。因此，本文的工作仅集中于开发和使用一个代表性体积单元来代表可能包含纤维微屈曲的区域。后续工作将整合用于失效和损伤预测的组分信息。

　　实验观察表明，承受弯曲的复合材料层板内的纤维波曲根据两个因素变化：所关注点在层板厚度方向上的位置，以及所关注点相对于曲率顶点的位置。实验测试中还观察到两个关键响应，这使得利用微力学确定材料性能成为可能。一是纤维波曲呈正弦形状，规则且具有周期性。二是对于给定的材料系统（纤维、树脂、纤维体积分数和工艺完全相同），波长几乎均匀。这使得可以针对给定的长度、纤维、基体和纤维体积分数，建立一个低振幅波浪形纤维微力学模型。当受到均匀压缩时，该模型允许屈曲振幅随着压缩的增加而增加，这与层板弯曲时所观察到的情况非常相似。

　　具有纤维波曲的复合材料微力学模型最初由研究人员开发。该模型假设了一个具有六边形堆积的矩形单胞。后来，研究人员将该单胞的体积减小了一半。通过利用周期性和对称平面，可以找到存在于无限阵列中的最小体积。对切割边界施加运动学多点约束，以约束模型的行为，使其表现得如同嵌入在无限阵列中一样。图1显示了波浪形单胞。完整的单胞建模推导可参阅相关文献。

　　为了确定刚度参数，对波浪形单胞进行了六种独立载荷情况下的应力分析。这些载荷情况是：

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　　将这六种载荷情况下各自的单胞应力和应变分布进行体积平均，以获得该单胞所代表点处的连续介质应力和应变分量。然后可以轻松地从胡克定律获得材料刚度参数。在对复合材料进行建模时，假定纤维为横观各向同性，基体为各向同性。因此，具有直纤维的复合材料是横观各向同性的，但在纤维波曲的情况下变为正交各向异性。正交各向异性材料的应力 应变关系可以写成：

　　由于模型在压缩作用下波曲度增加，复合材料基体中的应变变得相当大。例如，3.5%的全局压应变（Δl/l）会导致局部压应变（拉格朗日）E₁₁ = 16.2%，局部剪应变 2E₁₂ = 77.3%。

　　由于波浪形纤维的几何形状在相对较低的结构变形水平下就会引起非常高的基体应变，因此有必要进行有限（拉格朗日）应变分析。有限应变分析产生的局部应力场与使用传统小应变理论生成的应力场有显著不同，并且对所有应变值都是正确的。使用小应变公式计算大应变问题中的应力和应变，其相关误差可能相当大。对于此问题所遇到的应变量级，柯西应力值的误差可能超过50%。

　　针对此问题，选择了基于未变形构型（拉格朗日公式）的有限应变公式，因为它传统上用于弹性分析。拉格朗日应变E的计算公式为：

　　小应变分析中常用的应力度量是柯西应力张量；然而，这是相对于变形后的构型定义的，并且不能与拉格朗日应变直接共轭。皮奥拉-基尔霍夫应力张量是应力的两种替代定义。第一皮奥拉-基尔霍夫应力张量表述较简单，但它不对称，导致在应变张量对称的本构方程中使用不便。第二皮奥拉-基尔霍夫应力S是对称的，并且与拉格朗日应变直接共轭。因此，它是此问题选择的应力度量。

　　关于形状记忆树脂的实验数据表明，它们在有限应变下表现为线。这使得广义胡克定律可以用作该形状记忆树脂的本构关系。

　　其中：S是第二皮奥拉-基尔霍夫应力张量，λ和μ是拉梅常数。请注意，当位移梯度处处远小于1时，S和E可以用工程小应变和柯西应力代替。由于解释第二皮奥拉-基尔霍夫应力结果存在困难，因此根据第二皮奥拉-基尔霍夫应力S来计算柯西应力σ通常是有帮助的。

　　可以使用上述有限应变微力学来建立高温复合材料的本构定律。由于纤维和树脂均未表现出材料非线性，该模型将只考虑与几何效应相关的非线性。假定本构定律采用以下形式：

　　其中S是第二皮奥拉-基尔霍夫应力，E是拉格朗日应变，C(η)是材料参数，这些参数是波曲比η的函数。波曲比η定义为波的振幅a除以半波长λ。图3显示了这些量的图示。

　　变量H₁、H₂和H₃是有限应变下对应于小应变弹性模量常数E₁、E₂和E₃的等效量。同样，常数Kᵢⱼ是有限应变下对应于小应变常数Gᵢⱼ的等效量，而ζᵢⱼ则对应于νᵢⱼ。事实上，对于小应变情况，大应变常数H、K和ζ正好等于它们各自对应的小应变量。

　　首先考虑常数H₁。由于压缩是纤维波曲增加的主要驱动力，因此进行了增量非线性分析来确定这个常数。使微力学模型承受增量纵向法向压应力，其中波曲的振幅被允许随着载荷的增加而扩展。模型被设定了一个初始的低振幅波曲，该值与实验测定值相对应。利用该分析的结果，可以确定该材料系统的非线性应力-应变曲线. 通过对微力学模型施加增量压缩载荷生成的应力-应变曲线。

　　为了将该方法应用于结构分析，已将其编入 ABAQUS 用户材料子程序，并通过单单元模型的纯应力分析进行了验证。分析中使用的复合材料由赫氏 IM-7 纤维和 CTD 公司的 TEMBO® 形状记忆聚合物树脂在 115°C 下构成。材料属性列于表 1-3。请注意，由于承受大应变，各向同性属性以拉梅常数形式给出。纤维属性以常规工程常数形式给出，因为纤维仅承受小应变，因此从方程 (1) 推导出的常数有效，并且大多数读者更熟悉常规工程常数。注意所有数值均以 MPa 为单位。

　　在烘箱中加热试样和弯曲装置，直至试样和弯曲芯轴温度达到114-118°C。

　　使用显微镜软件，沿纤维方向测量5个波长的长度，除以10得到半波长。对四个试样中的每一个重复测量3次。

　　使用显微镜软件，测量纤维波的振幅，除以2得到半振幅。对四个试样中的每一个重复测量3次。

　　后续图表中的每个数据点都是12次测量的平均值。这12次测量通过在每个测试样本上取3次测量值进行分配。

　　用于代表该结构的有限元模型是层板的一个单胞。类似于梁理论中的微分单元，该模型代表了层板的整个厚度，但仅用一小段长度来代表层板的跨度。模型的切割边界被强制保持为平面，并施加力矩来模拟纯弯曲。分析使用商业有限元软件ABAQUS及八节点六面体单元技术进行。有限元模型如图11所示。

　　这项工作的一个延伸将是报告并利用多连续介质技术提供的组分信息。多连续介质技术提供的相平均组分信息将为失效预测奠定基础。此外，还需要研究如何准确表征代表性体积单元内周期性的相等相反的应力或应变。由于多连续介质技术组分材料常数是使用微力学模型计算的，组分应力和应变是在代表性体积单元的体积上平均得到的。对于微屈曲区域内的基体失效情况，通常假定剪应力主导失效模式。然而，如图16所示，这些应力在代表性体积单元内是周期性的，并且在体积平均时总和为零，因此在多连续介质技术结构分析中无法捕获。未来将探讨可能的解决方案。

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